Prime challenge

di Antonio Larizza

The rule behind the occurrence of prime numbers

Here is the original article from Matteo Arpe and Claudia Chioma,"The rule behind the occurrence of prime numbers".

Tra enigmi e ipotesi

La musica dei numeri primi  

L'enigma che ha stregato Eulero e Riemann
rivela un ritmo interno e inatteso

di Matteo Arpe
Fondatore e amministratore delegato di Gruppo Sator

«I numeri primi, a dispetto della loro apparente semplicità e nonostante più di duemila anni di sforzi, sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in uno schema regolare. Essi si susseguono in un elenco che sembra caotico, casuale e non fornisce alcun indizio riguardo al modo di determinare il suo prossimo elemento».

Queste sono citazioni tratte dal bellissimo libro di Marcus du Sautoy «L'enigma dei numeri primi» (Bur 2004, pagg. 616), dalla cui avvincente lettura nell'estate del 2004 è nata la curiosità che ha recentemente portato alla pubblicazione di un articolo sui numeri primi, a firma mia e della dottoressa Claudia La Chioma, nell'«Italian Journal of Pure and Applied Mathematics».

Andiamo con ordine e nessuna paura, non ci sono né formule né algoritmi rompicapo. Concentriamoci sui primi tre numeri primi: 2, 3 e 5. Quando consideriamo il 2, d'improvviso tutti i numeri pari diventano per definizione «non primi». I primi numeri che vengono cancellati dalla lista dei numeri interi sono 4 e 6. Passiamo al successivo, il 3.

Con un semplice calcolo mentale trovate che i primi numeri che individua sono il 9 e il 15 (il 6 e il 12 li ha già cancellati il 2!). Un ultimo sforzo e passiamo al 5. Il primo multiplo che troviamo è il 25 e il successivo è il 35.

Cosa si nota da questo semplice calcolo, tipo tabellina dei bimbi? Che il primo numero che ogni numero primo "cancella" dalla lista dei possibili primi è il suo quadrato (4 per il 2; 9 per il 3; 25 per il 5). Ma è guardando il secondo numero cancellato che è arrivata la suggestione: 6 per il 2, 15 per il 3 e 35 per il 5. Provate a dividere le coppie di numeri e otterrete 3, 5 e 7 che individuano per ognuna delle coppie esattamente il successivo numero primo. Ecco l'intuizione logica.

Ogni numero sembra fornire le coordinate del numero primo successivo. Lo fa in modo bizzarro, nascondendosi dietro un numero non primo, cioè un multiplo del primo precedente. Con l'entusiasmo del neofita, che ignaro delle difficoltà si butta senza preoccuparsi, ho provato a trovare una regola. Dopo pochi giorni mi ero già perso in sequenze in cui cercavo di trovare un ordine. Arruolai per questa stravagante impresa una ragazza che lavorava nel dipartimento finanza della banca dove io stesso lavoravo: il suo dottorato in matematica presso una prestigiosa università internazionale mi dava la tranquillità di saperla attrezzata di disciplina e rigore. Dove siamo finiti dopo qualche mese di lavoro?

L'intuizione iniziale era solo un bandolo di una serie di evidenze che apparivano straordinariamente semplici. In effetti ogni numero primo non dice solo dov'è il successivo numero primo, ma molto di più.

Per esprimermi in un linguaggio profano, di cui mi scuso con i matematici, ogni numero primo lancia un ritmo, un suono determinato e determinabile da cui poi scaturisce il successivo suono.

In particolare ogni numero primo definisce un "vettore", ovvero il "ritmo", che dopo un certo intervallo si ripete all'infinito. Particolarità di questo ritmo: la sua lunghezza e la sua forma sono tutt'altro che casuali. Per quanto riguarda la lunghezza del ritmo, cioè lo spazio tra i numeri prima che la sequenza si ripeta all'infinito, essa è pari per ogni numero primo al fattore dei numeri primi precedenti.

Così il ritmo del 7 è "lungo" 210 (2*3*5*7), quello dell'11 è 2.310 (2*3*5*7*11) e così via. Se questo risultato appariva molto convincente, è stata la forma del ritmo a sembrare straordinaria. Proiettando su un grafico la sequenza, essa è apparsa come una perfetta simmetria! Di più, essendo ogni vettore (ritmo) simmetrico, anche la serie dei numeri filtrata dopo ogni vettore risulta simmetrica! I grafici che così emergono sono generati dalle sequenze dei numeri primi dopo aver filtrato per il vettore del 7 e dell'11. Come mai allora la sequenza dei numeri primi è casuale? Perché ogni numero primo lancia un ritmo e tutti questi ritmi si accavallano come onde. Soltanto separando le onde si nota l'armonia. Usando un paragone musicale, ogni numero primo sembra uno strumento con un suo spartito. Il problema è che tutti gli spartiti, di durata sempre crescente, si accavallano si accavallano così che l'orchestra sembra un caos.

Tutto questo, in termini meno approssimati e molto più scientifici grazie soprattutto alla mia co-autrice, è descritto nell'articolo pubblicato. Scoperta o banalità? Il dubbio è più che lecito, visto che è anche il mio. Non lo so e non sono certo io la persona in grado di valutarlo. Dopo anni di verifica da parte di esperti questa teoria è stata pubblicata e questo per me è già motivo di grande soddisfazione. Certamente la regola individuata è semplice e armonica. Leggendo il libro di du Sautoy ci si imbatte nella seguente affermazione: «G.H. Hardy pensava che la verifica autentica di una buona dimostrazione matematica fosse il fatto che le idee devono combinarsi in maniera armonica». Da più parti si parla di musica nascosta dei numeri primi e circa il grande matematico Riemann, nelle cui carte distrutte si pensa si possa nascondere la soluzione dell'enigma, si parla di musica, ma anche di specchi (la simmetria).

La mia speranza, quella tipica dei profani, è che l'intuizione sulle note sia giusta e che qualche matematico vero, non per caso come me, riesca a farle suonare.

Tratto dal numero 131 di Nòva24

Grafico 1

Numeri primi filtrati fino al 7

Grafico 2

Numeri primi filtrati fino all'11

Grafico 3

Numeri primi filtrati fino al 13

Grafico 4

Zoom dal grafico 3

Since ancient Greeks, mathematicians and thinkers have tried their minds at solving the misteries of the distribution of prime numbers, the Everest of Math, holding probably the answers to many questions of Number Theory.

Today, the challenge is still on and it’s not only professional mathematicians tackling it. In the June 26 issue of Nòva24, the research, innovation and creativity weekly of "Il Sole24Ore", Italy’s largest business daily, Matteo Arpe, illustrated an innovative proposal he developed in collaboration with Claudia Chioma, for looking at the distribution of prime numbers.

This NòvaLab page aims at bringing together mathematicians for a closer look at Arpe’s hypothesis and comments on how to further develop this line of research.

At left you may find the story (in Italian) Nòva24-Il Sole24Ore ran on June 26 and some of the graphics not included in the original paper.

The original work ("The rule behind the occurrence of prime numbers") has been published in the "Italian Journal of Pure and Applied Mathematics" and the article has been made available for consultation here.